減速機ユニットの改造や流用設計において、既存のケーシングやフレームの軸穴位置（軸間中心距離）を変更できないケースは頻繁にあります。
タクトタイムの微調整や仕様変更のために減速比だけを変更しようとしても、標準歯車の組み合わせでは歯数の合計が合わず、中心距離が噛み合わないという問題に直面しがちです。
このとき、新たに調整用ブラケットを作り直したり、アイドラギヤ（中間歯車）を追加したりする「足し算の設計」に頼ると、部品点数や加工コスト、組立工数が跳ね上がってしまいます。
そこで有効なアプローチとなるのが、歯車そのものの転位（プロフィールシフト）によって既存の軸間距離にピタリと収める設計手法です。
本記事では、切り下げ（アンダーカット）の回避や歯先厚の確保、適切なバックラッシ管理まで考慮した転位係数の配分計算プロセスと、加工・組立現場でのトラブルを防ぐための図面指示の勘所を詳しく解説します。
| 設計フェーズ | ❌ やりがちなNG設計 | ⭕ 設計で推奨される方法 |
|---|---|---|
| 1. 歯車の選定方針 | 最初から大小2つの歯車を両方ともフルオーダーの特注転位歯車として新規設計してしまう。 | まず「片方をカタログ標準歯車（x1=0）とし、他方のみ転位させる（片転位）」や「メーカー標準の転位歯車シリーズの流用」を検討し、コストと納期を抑える。 |
| 2. バックラッシと公差指示 | 計算で求めた理論転位係数だけを要目表に記載し、バックラッシ用の歯厚逃げ公差を指示しない（熱膨張やピッチ誤差で過拘束・焼き付きが発生）。 | 理論転位係数とは別に、円周方向バックラッシ（例：0.08〜0.16 mm）に相当する歯厚減少量を「またぎ歯厚（またはオーバーピン径）のマイナス公差」として明記する。 |
| 3. 外径（歯先円）の図面表記 | 外径から「歯先短縮分（-2 * k * m）」を引き算し忘れる、あるいは旋盤加工者に要目表からの暗算を強いる図面にする（歯底との底付き干渉リスク）。 | 設計者側で歯先短縮まで計算した「実加工外径と公差（0 / -0.1 mm等）」を正面図に明記し、拡大した外径とケーシング内壁との干渉を事前チェックする。 |
| 4. 軸・ベアリングの強度評価 | 噛み合い計算だけで満足し、圧力角増大に伴うラジアル荷重（軸を押し広げる力）の増加に対して軸受寿命や長穴締結部のズレを検討しない。 | 増大したラジアル反力（Fr = Ft * tan α_w）を用いてベアリング寿命や軸のたわみを再評価し、調整機構がある場合はジャッキボルトやピンで機械的に拘束する。 |
1. 固定された中心距離に合わせるための基本アプローチと実務計算プロセス
固定された中心距離に対して標準歯車の歯数合計が合わない場合、まずは「インボリュート関数（inv α）を用いた噛み合い圧力角の逆算」から始めます。
そこから必要な「転位係数の和（x1 + x2）」を求め、小歯車（ピニオン）の切り下げ防止と歯先厚の確保を基準に配分するのが、実務で推奨される設計方法です。
ただし、ゼロから特注の転位歯車を設計・歯切り加工する前に、まずは調達コストと納期を最適化する検討が欠かせません。
具体的には、「片方の歯車だけをカタログ標準品（転位なし x1 = 0）とし、もう片方の歯車だけに転位を与えて中心距離を合わせる（片転位）」、あるいは「小原歯車工業（KHK）や協育歯車工業（KG）などの標準カタログにある転位歯車シリーズや追加工で対応できないか」を最初に確認することが実務上のセオリーとなります。
具体的な計算プロセス（ケーススタディ）
ここでは、実際の数値が歯車の加工精度やケーシングの熱膨張、潤滑環境等の要素に影響されることを踏まえつつ、理論上の目安として最後まで数値を省略せずに算出してみます。
・既存の固定された軸間中心距離： a_x = 100.0 mm
・モジュール： m = 2.0
・基準圧力角： α_0 = 20 deg（0.349066 rad）
・変更後の目標減速比： i = 3.22 付近（※従来は z1 = 25, z2 = 75 で i = 3.0、基準中心距離 a_0 = 100.0 mm だったものを仕様変更するケース）
・変更後の歯数： 小歯車 z1 = 23、大歯車 z2 = 74（合計歯数 z1 + z2 = 97、実減速比 i = 74 / 23 = 3.217）
※角度（deg）とラジアン（rad）の変換計算について基礎から確認したい場合は、弧長を求める計算式（ラジアンから角度を求る。角度からラジアンを求める方法）も参考にしてください。
ステップ①：基準中心距離（a_0）の算出
まず、転位を行わない標準歯車として計算した場合の基準中心距離 a_0 を求めます。
- 基準中心距離の計算式
a_0 = m * (z1 + z2) / 2
a_0 = 2.0 * (23 + 74) / 2 = 97.0 mm
既存の軸間距離 a_x = 100.0 mm に対して、標準歯車では 3.0 mm 足りません。
このままでは歯が浅くしか噛み合わずガタガタになるため、プラス転位を行って歯車を大きくし、中心距離を 97.0 mm から 100.0 mm へ +3.0 mm 広げる必要があります。
ステップ②：噛み合い圧力角（α_w）の算出
中心距離を広げると、実際に歯面同士が力を伝え合う「噛み合い圧力角 α_w」が基準圧力角（20 deg）よりも大きくなります。
- 噛み合い圧力角の計算式
cos(α_w) = (a_0 / a_x) * cos(α_0)
cos(α_w) = (97.0 / 100.0) * cos(20 deg) = 0.970 * 0.939693 = 0.911502
α_w = arccos(0.911502) = 24.285 deg（0.42385 rad）
実務上の目安として、噛み合い圧力角 α_w が 25 deg 〜 26 deg を超えると、軸受を押し広げる方向の力（ラジアル荷重：Fr = Ft * tan(α_w)）が増大し、噛み合い率も低下して騒音の原因となります。
今回の 24.285 deg は、実用範囲内に収まっていると判定できます。
ステップ③：インボリュート関数（inv α）と転位係数の和（x1 + x2）の算出
次に、インボリュート関数 inv(α) = tan(α) – α （※第2項の α はラジアン単位）を計算します。
💡 用語メモ：「インボリュート関数（inv α）」とは？（今回の設計における意味を開く）
【基本の意味】歯車の基礎円からインボリュート曲線が立ち上がる起点と、任意の圧力角を持つ点との間の角度差（tan α – α）を表す幾何学関数です。
【今回のケースでは】中心距離を97mmから100mmへ広げたことで生じる「噛み合い位置のズレ」を埋め合わせるために、歯の厚みをどれだけ増やすべきか（転位係数の和）を逆算する変換ツールとして機能します。
- 基準圧力角（20 deg）のインボリュート関数
inv(α_0) = tan(20 deg) – 0.349066 = 0.363970 – 0.349066 = 0.014904 - 噛み合い圧力角（24.285 deg）のインボリュート関数
inv(α_w) = tan(24.285 deg) – 0.423850 = 0.451203 – 0.423850 = 0.027353
これを用いて、必要な転位係数の合計（x1 + x2）を求めます。
- 転位係数の和（x1 + x2）の計算式
x1 + x2 = (z1 + z2) * (inv(α_w) – inv(α_0)) / (2 * tan(α_0))
x1 + x2 = 97 * (0.027353 – 0.014904) / (2 * 0.363970)
x1 + x2 = 97 * 0.012449 / 0.727940 = 1.659
つまり、小歯車の転位係数 x1 と大歯車の転位係数 x2 を足して「約 1.66」になるように配分すれば、中心距離 100.0 mm で正しく噛み合うことになります。
ステップ④：転位係数（x1, x2）の配分ルールと切り下げ検証
合計値 1.659 をどう配分するかが設計上の重要なポイントです。
以下の3つの基準に沿ってチェックと配分を行います。
- 1. 切り下げ（アンダーカット）限界の確認
並歯（α_0 = 20 deg）において、歯元の切り下げが発生しない限界歯数は z_min = 17 です。
もし z1 が 17 未満の場合は、最低でも x_min = (17 – z1) / 17 以上のプラス転位が必要になりますが、今回は z1 = 23 なので切り下げの心配はありません。 - 2. 歯元の曲げ強度バランスと滑り率の均一化
歯数が少ない小歯車（z1 = 23）の方が歯元の肉厚が薄く応力集中しやすいため、小歯車側に少し多め（または同等）のプラス転位を配分して歯元を太らせるのがセオリーです。
ただし、1つの歯車に x = +1.0 を超える極端な転位を与えると、今度は「歯先が尖りすぎて欠ける（歯先厚不足）」という別のリスクが発生します。 - 3. 具体的な配分値の設定
合計 1.659 に対し、加工図面で指示しやすいキリ番として以下のように配分します。
・小歯車の転位係数： x1 = +0.80
・大歯車の転位係数： x2 = +0.859
💡 用語メモ：「切り下げ（アンダーカット）」とは？（今回の設計における意味を開く）
【基本の意味】歯数が少ない歯車を歯切り加工する際、工具（ホブやラックカッター）の刃先が歯元のインボリュート曲線部まで深くえぐり取ってしまう現象です。
【今回のケースでは】小歯車はz1=23で限界歯数（17枚）を超えているため未転位でも発生しませんが、プラス転位（x1=+0.80）を与えることでさらに歯元が太くなり、曲げ疲労に対する安全率が向上します。
ステップ⑤：外径（歯先円直径）と「歯先厚」の成立性チェック
中心距離を広げた転位歯車では、歯の噛み合い深さを維持しつつ相手の歯底と干渉（底付き）しないよう、「頂げき（c = 0.25 * m = 0.5 mm）」を基準として歯先円直径を算出します。
- 中心距離変動係数（y）と歯先短縮係数（k）
y = (a_x – a_0) / m = (100.0 – 97.0) / 2.0 = 1.500
k = (x1 + x2) – y = 1.659 – 1.500 = 0.159 - 小歯車・大歯車の歯先円直径（da1, da2）
da1 = m * (z1 + 2 + 2 * x1 – 2 * k) = 2.0 * (23 + 2 + 1.60 – 0.318) = 52.564 mm
da2 = m * (z2 + 2 + 2 * x2 – 2 * k) = 2.0 * (74 + 2 + 1.718 – 0.318) = 154.800 mm - 歯底円直径（df1, df2）と頂げきの検算
df1 = m * (z1 – 2.5 + 2 * x1) = 2.0 * (23 – 2.5 + 1.60) = 44.200 mm
df2 = m * (z2 – 2.5 + 2 * x2) = 2.0 * (74 – 2.5 + 1.718) = 146.436 mm
頂げき検算： a_x – (da1 / 2 + df2 / 2) = 100.0 – (26.282 + 73.218) = 0.500 mm（＝ 0.25 * m で正常）
ここで非常に重要な「小歯車の歯先厚（sa1）」を確認します。
一般動力伝達用の歯車では、熱処理時の過熱（オーバーヒートによる脆化）や衝撃による先端欠けを防ぐため、歯先厚 sa は「0.2 * m 〜 0.4 * m 以上」を確保するのが設計上の目安です。
・小歯車歯先円の圧力角： cos(α_a1) = (m * z1 * cos(α_0)) / da1 = (2.0 * 23 * 0.939693) / 52.564 = 0.82235 ➔ α_a1 = 34.68 deg（0.6053 rad）
・歯先円のインボリュート関数： inv(α_a1) = tan(34.68 deg) – 0.6053 = 0.6919 – 0.6053 = 0.0866
・基準円上の歯厚半角： ψ1 = (pi / 2 + 2 * x1 * tan(α_0)) / z1 = (1.5708 + 2 * 0.80 * 0.36397) / 23 = 0.0936 rad
・歯先厚： sa1 = da1 * (ψ1 + inv(α_0) – inv(α_a1)) = 52.564 * (0.0936 + 0.0149 – 0.0866) = 52.564 * 0.0219 = 1.15 mm
・判定： sa1 = 1.15 mm は 0.57 * m に相当し、目安である 0.4 * m（0.80 mm）を十分に上回っているため、先端欠けのリスクはなく成立します。
ステップ⑥：正面噛み合い率（ε_α）の確認
プラス転位量が大きくなると、正面噛み合い率 ε_α が低下します。
静音性と滑らかな動力伝達のために、ε_α ≧ 1.2 を確保できているか確認します（※基礎円直径 db1 = 43.226 mm, db2 = 139.075 mm）。
- 正面噛み合い率の計算式
ε_α = [ sqrt((da1/2)^2 – (db1/2)^2) + sqrt((da2/2)^2 – (db2/2)^2) – a_x * sin(α_w) ] / (pi * m * cos(α_0))
ε_α = [ sqrt(26.282^2 – 21.613^2) + sqrt(77.400^2 – 69.538^2) – 100.0 * sin(24.285 deg) ] / (3.1416 * 2.0 * 0.939693)
ε_α = [ 14.954 + 33.991 – 41.128 ] / 5.904 = 7.817 / 5.904 = 1.32
ε_α = 1.32 ≧ 1.2 となり、常に1対以上の歯が確実に噛み合う良好な設計であることが確認できました。
噛み合い率の詳しい意味や低騒音化の基準については、歯車のかみ合い率の求め方と目安値｜低騒音化と強度を両立する計算手順と公差設計の勘所で詳しく解説しています。
2. 現場で起こりがちなトラブルシナリオと推奨される設計対策（実務の深掘り）
机上の幾何学計算で転位係数が綺麗に求まっても、そのまま図面化して製造現場へ流すと、加工・組立・稼働の段階で思わぬトラブルに直面することがあります。
ここでは、転位歯車の設計において見落としがちな3つのトラブルシナリオと、実務で推奨される具体的な回避策を掘り下げます。
シナリオ1：公差累積と熱膨張による「バックラッシ消失（過拘束・焼き付き）」
第1部で使用した転位歯車の計算式（x1 + x2 の算出式）は、実は「バックラッシが完全にゼロ（隙間なし）で噛み合う理論状態」を前提としています。
これをそのまま「理論歯厚」で加工指示し、さらに既存のケーシング側の軸穴ピッチ公差がマイナス側（中心距離が狭まる方向）に振れていたり、連続稼働で歯車自体が摩擦熱で熱膨張したりすると、逃げ場がなくなって歯面同士が強く突っ張る「過拘束状態」に陥ります。
結果として、組立時に軸が手で回らない、あるいは稼働直後に激しい異音とともに油膜が切れて歯面が焼き付く（スカッフィング）という重大なトラブルを引き起こします。
💡 用語メモ：「またぎ歯厚（Sm）」とは？（今回の設計における意味を開く）
【基本の意味】複数の歯をまたいでマイクロメータで挟み込み、インボリュート歯面の基準円上の歯厚（転位量）が狙い通りに削れているかを直接測定する寸法です。
【今回のケースでは】理論転位係数（+0.80等）からバックラッシ分の隙間（約0.11mm）を作るため、またぎ歯厚の公差をマイナス側へ逃がして図面指示することで、現場での過拘束と焼き付きを防ぎます。
- ❌ やりがちなNG設計
計算で求めた理論転位係数（x1 = +0.80, x2 = +0.859）だけを加工図面の要目表に記載し、バックラッシを与えるための「歯厚減少分（逃がし代）」や「またぎ歯厚（またはオーバーピン径）の実測許容公差」を指示しない設計です。
これでは歯切り加工者がどこまで追い込んで削ればよいか分からず、ガタゼロの歯車が納品されてしまいます。 - ⭕ 推奨される設計方法（クリアランスの明確な織り込み）
精度を出す箇所と誤差を逃がす箇所の優先順位をつけ、理論値ギリギリを避けて「動的な安全マージン（バックラッシ）」を確実に確保します。
モジュール m = 2.0 の一般動力用であれば、円周方向バックラッシ j_t = 0.08 〜 0.16 mm 程度を確保するのが目安です。
中心距離 100.0 mm は固定されているため、算出した理論転位係数から、バックラッシに相当する分だけ歯を薄く削り込む指示を「またぎ歯厚（Sm）」の公差として図面の要目表に明記します。
・法線方向の歯厚減少量（合計）： Δs = j_t * cos(α_0) ≒ 0.12 * 0.94 = 0.11 mm（大小の歯車それぞれ片側あたり約 -0.055 mm）
このように「理論上の転位係数」と「バックラッシを作るための歯厚公差（マイナスの逃げ）」を分けて図面指示することが、現場での噛み込みを防ぐ確実な対策となります。
なお、ケーシング材質がアルミ合金で歯車が鋼材の場合など、異種金属間の温度上昇による軸間距離の変動については、アルミニウム合金の熱膨張係数と伸縮量の計算方法｜鉄・SUSとの線膨張差による反り・焼き付き対策もあわせて確認しておくと安心です。
シナリオ2：歯先円直径の「短縮忘れ（単純オフセット）」による歯底干渉と加工ミス
「プラス転位とは、ラックカッターを基準位置から m * x だけ遠ざけて削ることだ」という基本原理だけに従い、小歯車の外径を単純に「基準円 ＋ 2 * m + 2 * m * x1」として設計・旋削してしまうケースです。
ステップ⑤で確認したように、転位係数の和 x1 + x2（1.659）と中心距離変動係数 y（1.500）には差（歯先短縮係数 k = 0.159）があります。
この「歯先短縮分（-2 * k * m = -0.636 mm）」を外径から引き算せずに作ってしまうと、組み立てた際に歯先が相手歯車の歯底（トロコイド曲線部）に接触して底付きを起こし、正常に回らなくなります。
- ❌ やりがちなNG設計
旋盤加工者に対して「モジュール2、歯数23、転位+0.8」という要目表だけを伝え、外径寸法を加工者の暗算任せにする図面です。
あるいは、歯先短縮を行わない単純転位外径（φ53.20 mm）を図面に記入してしまうミスも散見されます。 - ⭕ 推奨される設計方法（加工者に暗算を強いない図面指示と干渉確認）
現場での計算ミスをシステム的に排除するため、設計者側で歯先短縮まで完了させた「実加工外径（例：φ52.56 mm、公差 0 / -0.1 mm）」を部品図の正面図の見やすい位置に明記します。
加工者に喜ばれる部品図の寸法・公差指示の基本については、機械加工「部品図（バラ図）」の書き方と寸法記入の鉄則｜加工屋さんに喜ばれる基準面・公差・表面粗さの指示法も参照してください。
また、既存のケーシング内部に歯車を収める流用設計では、プラス転位によって標準歯車よりも外径が大きく膨らんでいます（今回の例では、標準歯車なら φ50.0 mm だったものが φ52.56 mm へ約 2.6 mm 拡大）。
ケーシングの内壁や、近くを通る軸受押さえボルトの頭、潤滑油の掻き揚げバッフル板などと拡大した歯先が接触しないか、最大外径の包絡円を描いて周囲とのクリアランス（最低でも 2〜3 mm 以上）を事前にチェックしておくことが推奨されます。
シナリオ3：噛み合い圧力角の増大による「軸・ベアリングへの過負荷」と締結部のズレ
減速比を変更し、さらにプラス転位で噛み合い圧力角 α_w が 20 deg から 24.285 deg へ大きくなると、力のベクトルが変化します。
同じ伝達トルクであっても、2つの軸を互いに押し広げようとするラジアル方向の反力（Fr = Ft * tan(α_w)）が約 24% も増大します（tan 24.285 deg / tan 20 deg = 0.451 / 0.364 = 1.24倍）。
既存のケーシングや軸をそのまま流用する場合、この増大した押し広げ力によって軸がたわんで歯面の片当たりを起こすリスクがあります。
また、もし片方の軸受ハウジングを「長穴＋ボルト締結」で位置調整できる構造にしていた場合、ボルトの摩擦力だけでは横方向のせん断荷重（押し広げ力）を支えきれず、稼働中に軸間距離がズレてしまうトラブルが起きます。
- ❌ やりがちなNG設計
歯車の噛み合い計算だけで満足し、既存シャフトのたわみやベアリング寿命の再計算を省略することです。
また、調整式ハウジングにおいてボルトの軸力（摩擦力）だけで増大したラジアル反力を受け止めようとする構造もリスクが高くなります。 - ⭕ 推奨される設計方法（力の流れの検証とメカニカルな拘束）
1. 一括での個別評価（軸・軸受・キーのチェック）
減速比と圧力角が変わった時点で、歯車単体だけでなく「①歯面の面圧・曲げ強度」「②増大したラジアル荷重に対する既存ベアリングの定格寿命」「③軸のたわみとキー溝の面圧」までセットで見直すことが推奨されます。
軸径の強度・たわみ計算やキー溝の設計基準については、平歯車の軸径計算｜伝達トルク・せん断応力から複合応力・たわみ剛性まで検証する実務手順および平行キー・キー溝のJIS規格寸法表（軸径別サイズ・公差一覧）｜深さ・幅の図面指示と締結設計の注意点が役立ちます。
2. 引き算と拘束のメリハリ
本ケースのように「既存ケーシングの固定軸穴（ノックピンやインローで位置が決まっている穴）」をそのまま使うのであれば、余計な長穴調整ブラケットなどを介在させず、転位計算によって軸間 100.0 mm に合わせる方が剛性が高くズレのリスクもなくなります（引き算の設計）。
どうしても現物合わせでバックラッシを調整する長穴構造をとる場合は、調整完了後に荷重方向を受け止める「押し引きジャッキボルト（ロックナット付）」を壁として設けるか、位置確定後にノックピン（ダウエルピン）を打ち込んでメカニカルに拘束する構造を組み込むことが有効です。
3. まとめ：実務設計に向けたチェックリスト
既存の軸間中心距離を活かして転位歯車で減速比を変更する際は、以下のステップで進めることで手戻りや現場トラブルを防ぐことができます。
1. 市販品の活用検討：まずは片方を標準歯車（x1 = 0）にできないか、メーカー標準の転位歯車が流用できないかを調べ、特注加工を最小限に絞る。
2. 転位係数と歯先厚の算出：インボリュート関数から x1 + x2 を求め、切り下げ回避・歯先厚（0.4 * m 以上）・正面噛み合い率（1.2以上）を満たすよう配分する。
3. 図面への逃げ（バックラッシ）と実寸の明記：歯先短縮を反映した「実加工外径寸法」と、熱膨張・加工公差を吸収するための「またぎ歯厚（またはオーバーピン径）のマイナス公差」を図面に明記し、加工者に暗算させない図面を作る。
4. 周辺干渉と軸受負荷の確認：転位で大きくなった外径がケーシング内壁と干渉しないか、また圧力角増加に伴うラジアル荷重増大に既存の軸やベアリングが耐えられるかを確認する。
歯車の噛み合い音や温度上昇、実際のバックラッシ量は、ケーシングの剛性や加工誤差の積み重ねに大きく左右されます。
設計・製作完了後は、実機（プロトタイプ）での光明丹による歯当たり確認および無負荷・負荷ランニング検証を丁寧に行い、安全な稼働を確認してください。
【実務ケーススタディ・トラブル対策集】条件別の設計計算と現場の勘所
【実務ケーススタディ】小歯車13枚の小型減速部における平歯車の転位係数計算と干渉回避の設計対策
【結論・設計の要点】
平歯車の小歯車歯数（z1）を13枚まで減らす場合、標準歯形では理論限界歯数（17枚）を下回り切り下げ（アンダーカット）が発生します。規定の中心距離（a = 40.0 mm）を維持しつつ干渉を回避するには、小歯車に正転位（x1 = +0.25）、大歯車（z2 = 27枚）に同量の負転位（x2 = -0.25）を与える「高転位歯車方式（x1 + x2 = 0）」の採用が有効です。これにより歯先円弧歯厚（0.984 mm）と正面噛み合い率（1.50）を適正に確保できますが、実務ではさらに「熱膨張を見込んだバックラッシ管理」や「軸たわみによる片当たり防止」の設計配慮が不可欠となります。
▶ 詳細な計算プロセスと推奨される設計対策を見る
1. 転位方式の選択と基本計算プロセス
アクチュエータの減速部を小型化するために平歯車の小歯車歯数（z1）を13枚まで減らす場合、標準圧力角（alpha = 20度）・並歯（歯末のたけ係数 ha* = 1.0）のまま創成加工を行うと、歯元に切り下げが発生します。
これにより歯元曲げ強さが大幅に低下するだけでなく、インボリュート曲線の一部が削り取られることで有効な噛み合い長さが減少し、振動や早期摩耗の原因となります。
この課題を解決し、かつ「規定の中心距離」を維持するための実務で推奨される設計方法は、大歯車歯数（z2）の条件に応じて以下の2つのアプローチから選択することです。
- 1. 高転位歯車方式（x1 + x2 = 0）の採用（推奨される第一選択肢）
規定の中心距離が「標準中心距離（a0 = m * (z1 + z2) / 2）」で設計されている場合、小歯車に正の転位（+x1）を与えてアンダーカットを回避しつつ、大歯車に同量の負の転位（-x2 = -x1）を与えることで、中心距離と噛み合い圧力角（20度）を変えずに成立させる手法です。ただし、大歯車が負転位によってアンダーカットを起こさないよう、原則として「z1 + z2 ≧ 34（すなわち z2 ≧ 21枚）」であることが成立の目安となります。 - 2. 角度転位歯車方式（x1 + x2 ≠ 0）またはモジュールの見直し
もし大歯車の歯数も少なく（z1 + z2 ＜ 34）、規定の中心距離が標準値から外れている場合は、転位係数の和（x1 + x2）を正の値に設定して噛み合い圧力角（alpha_w）を高める「角度転位」を行います。
なお、実際の数値は歯切り工具の刃先丸みや加工誤差、運転環境等の要素に影響されるため、以下は理論上の目安として計算プロセスを提示します。
・モジュール：m = 2.0
・基準圧力角：alpha = 20度
・小歯車歯数：z1 = 13枚 ／ 大歯車歯数：z2 = 27枚（減速比 約2.08）
・規定中心距離：a = 40.0 mm
① 小歯車（z1 = 13）の評価と切り下げ限界転位係数の算出
標準歯車において切り下げが発生しない理論限界歯数（zc）は、圧力角 alpha = 20度（sin(20度) = 0.34202）のとき以下の式で求まります。
歯数 z1 = 13枚において、理論上まったく切り下げを発生させないための最小転位係数（x1_th）と、実用上わずかな切り下げを許容できる実用限界（zc_prac = 14枚基準）の転位係数（x1_prac）を計算します。
- 理論限界歯数（zc）
zc = 2 / (sin(20度))^2 = 2 / 0.11698 = 17.097 ≒ 17枚 - 理論上の切り下げ防止転位係数（x1_th）
x1_th = 1 - (z1 / zc) = 1 - (13 / 17.097) = +0.2396 - 実用上の切り下げ防止転位係数（14枚基準：x1_prac）
x1_prac = (14 - z1) / 17.097 = (14 - 13) / 17.097 = +0.0585
小歯車には駆動トルクによる高い歯元曲げ応力と接触面圧が繰り返しかかるため、実用下限ギリギリではなく、理論限界値に余裕を持たせたキリ番として「x1 = +0.25（または +0.30）」を選定するのが実務上のセオリーです。ここでは x1 = +0.25 として進めます。
② 大歯車（z2 = 27）の評価と規定中心距離（a = 40.0 mm）の維持
基準ピッチ円直径（d1, d2）および標準中心距離（a0）を算出し、高転位方式（x1 + x2 = 0）を適用した際の大歯車の切り下げ限界を確認します。
- 基準ピッチ円直径と標準中心距離
d1 = m * z1 = 2.0 * 13 = 26.0 mm
d2 = m * z2 = 2.0 * 27 = 54.0 mm
a0 = (d1 + d2) / 2 = (26.0 + 54.0) / 2 = 40.0 mm - 大歯車の転位係数と切り下げ限界確認
x2 = -x1 = -0.25
x2_limit = 1 - (z2 / 17.097) = 1 - (27 / 17.097) = -0.579
選定した x2 = -0.25 は、限界値（-0.579）よりも十分に大きいため、大歯車側にもアンダーカットは発生しません。
（※参考：もし規定中心距離が a = 40.5 mm のように標準値と異なる場合は、噛み合い圧力角 alpha_w を cos(alpha_w) = (a0 / a) * cos(20度) から逆算し、インボリュート関数 inv(alpha) = tan(alpha) - alpha［rad］を用いて、転位係数和 x1 + x2 = (z1 + z2) * (inv(alpha_w) - inv(20度)) / (2 * tan(20度)) から x1 と x2 を配分します。）
③ 各部主要寸法と「歯先の尖り（歯先円弧歯厚）」の検証
正転位を大きくしすぎると、小歯車の歯先が尖ってしまい、熱処理時の過熱（焼き割れ）や運転中の歯先欠け（チッピング）を招きます。
x1 + x2 = 0 の場合、頂げき変動係数 y = 0 となるため、歯先円直径（da）と歯底円直径（df）は以下の通り単純化されます（頂げき係数 c* = 0.25 とする）。
| 寸法項目（計算式） | 小歯車（z1 = 13, x1 = +0.25） | 大歯車（z2 = 27, x2 = -0.25） |
|---|---|---|
| 歯元たけ（hf） m * (1 + c* - x) |
2.0 * (1 + 0.25 - 0.25) = 2.00 mm | 2.0 * (1 + 0.25 - (-0.25)) = 3.00 mm |
| 歯末たけ（ha） m * (1 + x) |
2.0 * (1 + 0.25) = 2.50 mm | 2.0 * (1 - 0.25) = 1.50 mm |
| 歯先円直径（da） d + 2 * ha |
26.0 + 2 * 2.50 = 31.00 mm | 54.0 + 2 * 1.50 = 57.00 mm |
| 歯底円直径（df） d - 2 * hf |
26.0 - 2 * 2.00 = 22.00 mm | 54.0 - 2 * 3.00 = 48.00 mm |
次に、小歯車の歯先圧力角（alpha_a1）と歯先円弧歯厚（sa1）を検証します。
- 基礎円直径（db1, db2）
db1 = d1 * cos(20度) = 26.0 * 0.93969 = 24.432 mm
db2 = d2 * cos(20度) = 54.0 * 0.93969 = 50.743 mm - 小歯車の歯先圧力角（alpha_a1）
cos(alpha_a1) = db1 / da1 = 24.432 / 31.00 = 0.78813 ➔ alpha_a1 = 37.99度（0.6630 rad） - インボリュート関数値
inv(20度) = tan(20度) - (20 * 3.14159 / 180) = 0.36397 - 0.34907 = 0.01490
inv(alpha_a1) = tan(37.99度) - 0.6630 = 0.78100 - 0.66300 = 0.11800 - 小歯車の基準円弧歯厚（s1）
s1 = m * ((3.14159 / 2) + 2 * x1 * tan(20度)) = 2.0 * (1.5708 + 2 * 0.25 * 0.36397) = 3.5056 mm - 小歯車の歯先円弧歯厚（sa1）
sa1 = da1 * ((s1 / d1) + inv(20度) - inv(alpha_a1))
sa1 = 31.00 * ((3.5056 / 26.0) + 0.01490 - 0.11800) = 31.00 * 0.03173 = 0.984 mm
実務における歯先厚みの許容基準は「一般歯車で 0.2 * m（= 0.40 mm）以上、浸炭焼入れ等の硬化歯車で 0.3 * m〜0.4 * m（= 0.60〜0.80 mm）以上」です。算出値 0.984 mm（= 0.49 * m）は十分な厚みを有しており、歯先欠けのリスクはありません。
④ トロコイド干渉（噛み合い干渉）の回避検証
相手歯車（大歯車）の歯先が、小歯車の基礎円（db1）より内側の非インボリュート部（トロコイド曲線部）に食い込む「トロコイド干渉」が起きないかを検証します。
💡 用語メモ：「トロコイド干渉」とは？（今回の設計における意味を開く）
【基本の意味】相手の歯先が、こちらの基礎円より内側にあるインボリュート曲線ではない歯元部分に異常接触して引っかかる現象です。
【今回のケースでは】小歯車を13枚まで減らしたことで基礎円と歯底円の距離が近くなるため、大歯車の歯先が小歯車の歯元に食い込んで回転ロックや異常摩耗を起こさないか、作用線上の限界確認が必須となります。
- 大歯車の歯先圧力角（alpha_a2）
cos(alpha_a2) = db2 / da2 = 50.743 / 57.00 = 0.89023 ➔ alpha_a2 = 27.10度（tan(27.10度) = 0.5117） - 干渉が起きないための条件式（噛み合い作用線上の限界確認）
z1 * tan(alpha_w) + z2 * (tan(alpha_w) - tan(alpha_a2)) ＞ 0
（※ここで alpha_w = 20度、tan(20度) = 0.36397）
左辺 = 13 * 0.36397 + 27 * (0.36397 - 0.5117) = 4.732 - 3.989 = +0.743 ＞ 0（干渉なし）
また、頂げき（歯先と相手歯底の隙間）も、c = a - (da1 / 2) - (df2 / 2) = 40.0 - 15.5 - 24.0 = 0.50 mm（= 0.25 * m）が確実に保たれています。
⑤ 正面噛み合い率（epsilon_alpha）の算出
転位を行うと噛み合い率が変化するため、静粛性と連続伝達を担保する目安である「epsilon_alpha ≧ 1.2（できれば 1.4 以上）」を満たしているか確認します。
- 噛み合い長さ（g_alpha）
g_alpha = (sqrt(da1^2 - db1^2) + sqrt(da2^2 - db2^2)) / 2 - a * sin(alpha_w)
・sqrt(da1^2 - db1^2) = sqrt(31.00^2 - 24.432^2) = sqrt(961.0 - 596.92) = 19.081 mm
・sqrt(da2^2 - db2^2) = sqrt(57.00^2 - 50.743^2) = sqrt(3249.0 - 2574.85) = 25.964 mm
・a * sin(20度) = 40.0 * 0.34202 = 13.681 mm
・g_alpha = (19.081 + 25.964) / 2 - 13.681 = 22.523 - 13.681 = 8.842 mm - 法線ピッチ（pb）
pb = 3.14159 * m * cos(20度) = 3.14159 * 2.0 * 0.93969 = 5.904 mm - 正面噛み合い率（epsilon_alpha）
epsilon_alpha = g_alpha / pb = 8.842 / 5.904 = 1.498（≒ 1.50）
実用基準である 1.2〜1.4 を十分に上回っており、滑らかな動力伝達が可能です。
⑥ 歯元曲げ強さと「歯面強さ（接触面圧）」の両面検証
転位によって歯元の肉厚が増すと曲げ強さは向上しますが、小径化（z1 = 13）に伴いピッチ円直径（d1 = 26mm）が小さくなっているため、「歯面強さ（ヘルツの接触面圧）」が非常に厳しくなります。
設計時は必ず「ルイス式・JIS B 1752に基づく歯元曲げ強さ」と「ヘルツ応力に基づく歯面強さ」の両方を計算し、許容トルクが低い側（多くの場合、小歯車の歯面強さ側）を基準として安全率や伝達効率（平歯車1段あたり eta = 0.98〜0.99）、材質・熱処理（SCM415浸炭焼入れやS45C高周波焼入れ等）を決定することが推奨されます。
曲げ強さだけでサイズを決定すると、稼働後短期間で歯面にピッチング（疲労剥離）が発生する原因となります。
2. 現場で起こりがちなトラブルシナリオと推奨される設計対策
机上の転位計算で「アンダーカットなし・噛み合い率1.50」と成立していても、実際の加工・組立・運転環境では、公差の積み上げや熱変形、剛性不足によって思わぬトラブルが発生します。
現場で直面しやすい3つのトラブルシナリオと、推奨される具体的な設計対策を解説します。
シナリオ1：熱膨張と中心距離公差の累積による「バックラッシ消失・噛み込みロック」
アクチュエータの小型化を狙う際、ケーシング（ハウジング）には軽量化と放熱性の観点からアルミ合金（A5052やADC12等）を用い、歯車には高強度な鋼材（S45CやSCM415）を組み合わせることが多くあります。
しかし、異種材料の熱膨張差や軸間距離の加工公差を見落として「定温時の理論歯厚」のままで図面を出すと、組み立てた瞬間に回転が重くなるか、あるいは運転による昇温後にバックラッシがゼロになって歯面同士が強く突っ張り（過拘束）、焼き付きやモーターの過負荷アラーム、軸受の早期破損を引き起こします。
- 転位計算で求めた理論上の基準円弧歯厚（s1 = 3.506 mm）をそのまま公差ゼロ付近で図面指示し、さらに位置決め精度を上げようとしてバックラッシを極限まで詰めようとする。
- ハウジングの軸間距離公差（例：40.0 ±0.05 mm）がマイナス側に振れたときの「歯の食い込み量」を計算していない。
⭕ 推奨される設計方法（逃がしとクリアランス積算の設計）
- 支配的要素を加算した適正バックラッシの確保
クリアランス（バックラッシ）は静的な理論値ギリギリを避け、「基本バックラッシ ＋ 軸間距離公差の吸収分 ＋ 軸受のすきま・振れ ＋ 運転時の熱膨張差」を加算して決定します。特に「角度転位（x1 + x2 ＞ 0）」を行った歯車は、標準歯車に比べて歯先が厚く噛み合い圧力角も高いため、軸間距離がマイナス公差に振れた際のバックラッシ減少感度（Δj = 2 * Δa * tan(alpha_w)）が大きくなります。 - 歯厚のマイナス公差（またぎ歯厚管理）による逃がし
中心距離（a = 40.0 mm）の公差は JIS B 1702 等に基づき「40.0 +0.03 / 0 mm」のようにプラス側（離れる側）へ逃がすか、あるいは歯車図面の「またぎ歯厚（またはオーバピン径）」の公差を理論値からマイナス側（歯を薄くする側）へオフセットして指示し、最悪公差時でも法線方向バックラッシ（j_bn = 0.04 * m 〜 0.08 * m 程度、m=2なら 0.08〜0.16 mm）が確実に残るよう設計します。 - モーター取付部の調整シロ（計画的な逃がし）
小歯車をモーター軸直結（ピニオン直付け）とする場合、ハウジング側を完全な固定穴とせず、インロー嵌合にわずかな偏心または長穴の調整シロを持たせてシムや治具で適切なバックラッシを与えてから固定するか、固定ピッチとする場合は上記の公差累積計算を徹底します。
シナリオ2：小径ピニオン軸のたわみと過大歯幅による「片当たり・端面チッピング」
小歯車を z1 = 13枚（d1 = 26mm）まで小径化すると、当然ながら歯車を支持する軸径も細くなります（あるいはモーター軸先端に片持ちで取り付ける構造になりがちです）。
このとき、「小径化して落ちた強度を稼ごう」と安易に歯幅（b）だけを大きくする「足し算の設計」を行うと、噛み合い反力（ラジアル荷重 Fr ＝ 接線力 Ft * tan(20度)）によって細い軸がわずかにたわみ、歯幅の片端だけに荷重が集中する「片当たり」が発生します。
結果として、計算上の安全率が十分であっても、歯の端部から初期欠け（チッピング）や激しい偏摩耗・異音が発生します。
- 強度計算上の数値を上げるためだけに、小歯車の歯幅（b）をモジュールの15倍〜20倍（m=2で b=30〜40mm）といった細長いプロポーションにしてしまう。
- 小歯車と大歯車を全く同じ歯幅（例：両方とも b = 20.0 mm）で設計し、組立時の軸方向（スラスト方向）のわずかなズレによって角部が干渉し、段差摩耗（バリ発生）を引き起こす。
⭕ 推奨される設計方法（引き算と非対称・役割分担の設計）
- 適正な歯幅比率の遵守と両持ち支持化
軸の微小な傾きによる片当たりの影響を排除するため、歯幅は原則として「モジュールの8〜12倍程度（m=2であれば b = 16〜24 mm 程度）」に抑えます。もしそれ以上の負荷容量が必要な場合は、無理に歯幅を伸ばすのではなく、支持構造を「片持ち」から「両持ち軸受支持」へ見直すか、熱処理グレードを引き上げます。 - 小歯車の幅広化（段差オフセットによる噛み合い保証）
大小の歯車を同じ歯幅にはせず、負荷回数が多い小歯車の歯幅（b1）を大歯車の歯幅（b2）よりも「2〜4 mm（片側1〜2 mmずつ）広く」設計します（例：大歯車 b2 = 20 mm に対し、小歯車 b1 = 22〜24 mm）。これにより、組立公差や軸受のスラストガタで軸方向に±0.5 mm程度のズレが生じても、大歯車の歯幅全体が常に確実に噛み合い、エッジの乗り上げや段付き摩耗を防ぐことができます。 - 歯筋クラウニングと端面面取り
高負荷・高速回転用途で歯面研削を行う場合は、歯筋方向に数ミクロンの中高修整（クラウニング）を指示して片当たりを物理的に逃がします。
シナリオ3：カタログ標準歯車の追加工流用ミスと「図面要目表の記載漏れ」による加工トラブル
コストダウンや短納期を狙って市販の標準歯車（カタログ品）を流用しようとする際、あるいは特注で転位歯車を図面手配する際に、現場の加工プロセスやカタログ仕様の前提を見落とすことで手配ミスや検査トラブルが発生します。
- カタログの「標準平歯車（x = 0 で歯切り済みの完成品またはB形歯車）」を購入し、図面上で「外径を削り、転位係数 +0.25 相当の追加工をすること」といった物理的に不可能な指示を出してしまう（※転位はホブ盤での歯切り創成時にカッターをオフセットさせる加工であり、歯切り後の標準品を追加工して転位歯車に変えることはできません）。
- 特注歯車の図面において、図形と外径寸法（da1 = φ31.0）だけを記載し、歯車要目表に「転位係数」や「またぎ歯厚（またはオーバピン径）」を記載せずに出図してしまい、加工メーカー側で標準歯車と誤認されるか、検査基準が不明で製作ストップになる。
⭕ 推奨される設計方法（調達最適化と現場を迷わせない図面指示）
- メーカー選定と標準「転位平歯車」の活用
平歯車の調達においては、小原歯車工業（KHK）、協育歯車工業（KG）、ミスミなどの主要メーカーの規格品をまず確認します。特に歯数12〜16枚クラスの小歯車については、KHK等のカタログに最初から正転位（x = +0.5 等）が施された「標準転位平歯車シリーズ」や、それと噛み合う負転位歯車がラインナップされている場合があります。特注でゼロから削り出す前に、まず既存の転位標準品で中心距離を合わせられないかを検証することが、コストと納期を圧縮する有効なアプローチです。 - 特注出図時の「歯車要目表」必須記載項目
特注で転位歯車を製作する場合は、加工者と検査者が推測をせずに済むよう、図面右上の「歯車要目表」に以下の10項目を漏れなく明記します。
1. モジュール（m = 2）
2. 圧力角（alpha = 20度）
3. 歯数（z1 = 13）
4. 転位係数（x1 = +0.25） ※正負の符号を明記
5. 基準ピッチ円直径（d1 = φ26.0）
6. 歯先円直径（da1 = φ31.0 0/-0.1） ※転位により標準値（φ30.0）から変化するため特に注意喚起する
7. 歯底円直径（df1 = φ22.0）
8. またぎ歯厚（Sm および測定歯数 Zm）または オーバピン径（dm およびピン径 dp）と公差
9. 精度等級（JIS B 1702 N7級、または旧JIS 3級〜4級など）
10. 相手歯車の図番・歯数・転位係数、および組立中心距離（a = 40.0 mm）
最後に、転位歯車は歯形の滑り率や噛み合い剛性の変化が標準歯車とは異なる挙動を示すことがあるため、量産移行前には実機（プロトタイプ）での噛み合い音・温度上昇・歯当たり（光明丹等による接触痕確認）の検証を行うことが推奨されます。